Cette expression en forme d'idiotisme animalier date du XIIIe siècle et signifie - au sens figuré - : "essayer de concilier des intérêts contraires, des personnes aux points de vue opposés".
À l'instar de ceux d'une chèvre et d'un chou, la première ayant naturellement vocation à dévorer le second.
On dit par exemple : "En voulant ménager la chèvre et le chou, le gouvernement n'a fait que des mécontents".
Nos amis belges ont créé à partir de cette expression le mot "Chèvrechoutiste" (ou "Chèvre-choutiste") afin de désigner une personne tentant de faire plaisir à tout le monde ou de satisfaire des intérêts divergents.
Sources : www.linternaute.fr et wiktionary.org