Ces deux locutions adverbiales signifie respectivement :
- "À la lettre" : précisément comme il est écrit, sans interpréter.
On dit par exemple : "Je tiens à ce que vous appliquiez mes directives à la lettre".
- "Au pied de la lettre" :
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- en suivant le sens strict des mots ; mot à mot, littéralement, textuellement, tel que c'est écrit ; sans essayer de le remettre en question ni en tenter la moindre interprétation,
On dit par exemple : "Tu n'étais pas obligé de prendre tout ce que je t'avais dit au pied de la lettre : si le film se terminait à 22H05 au lieu de 22H, tu pouvais laisser mes filles le regarder jusqu'à la fin".
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- à proprement parler, véritablement, sans aucune exagération,
- On dit par exemple : "Après cette tempête ma maison ne tenait plus debout. Au pied de la lettre".
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- et par extension : très scrupuleusement.
On dit par exemple : "Je te conseille de respecter cet itinéraire au pied de la lettre".
Sources : wiktionary.org et www.lalanguefrancaise.com