Cette locution prépositive ("À court de") et ces deux locutions verbales relèvent du registre familier.
Et elles signifient respectivement :
- "À court de" : en manque de,
On dit par exemple : "À court de munitions, nous avons dû nous rendre ".
- "Être à court de" : être en manque de, manquer de, être dépourvu de, ne plus avoir de,
On dit par exemple : "Tu protestes, mais je constate que tu es à court d'arguments".
- et "Tomber à court de" : venir à manquer de quelque chose.
On dit par exemple : "Si nous ne sommes pas livrés très vite, nous allons tomber à court de cartouches d'encre".
Sources : www.linternaute.fr et wiktionary.org