Ces deux verbes paronymes relèvent du langage courant.
Ils sont parfois confondus, car ils possèdent des significations pouvant être très similiaires, au point d'en faire dans certains cas de véritables synonymes.
- "S'approcher" signifie en effet, selon le contexte :
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- se déplacer afin de venir (plus) près de quelqu'un, de quelque chose ; se diriger vers ; arriver à proximité d'un lieu.
On dit par exemple : "Notre navire s'approche de la côte", "Je me suis approché d'un groupe de cerfs pour les photographier" ou : "Approche-toi mon enfant, que je te vois mieux".
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- être sur le point d'atteindre un objectif, une limite abstraite.
On dit par exemple : "Nous approchons de la solution".
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- être près de parvenir à un moment proche d'une date, d'une limite temporelle ; SE RAPPROCHER DE.
On dit par exemple : "On approchait de l'automne".
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- être voisin de quelque chose ou de quelqu'un par ses caractéristiques, lui être comparable, lui ressembler.
On dit par exemple : "L'histoire de ce roman s'approche de la réalité".
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- ou : être imminent, sur le point de se produire (en parlant d'un événement, d'un phénomène).
On dit par exemple : "La fin du film approche".
- tandis que "Se rapprocher" signifie, selon le contexte :
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- venir plus près d'une personne ou d'une chose.
On dit par exemple : "Pour une photo parfaite j'ai essayé de me rapprocher encore un peu des cerfs mais je les ai fait fuit" ou "Je souhaiterais déménager pour permettre à ma fille de se rapprocher de son université".
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- établir avec quelqu'un des relations plus étroites, plus amicales et, en particulier, se réconcilier, se rabibocher (registre familier).
On dit par exemple : "Avec le temps, je me suis rapproché de mon ex-épouse".
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- évoluer vers quelque chose, être plus près d'atteindre quelque chose ; s'acheminer vers quelque chose.
On dit par exemple : "La montée des eaux se rapproche de la cote d'alerte".
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- ou : présenter des rapports, des similitudes avec quelque chose.
On dit par exemple : "Ce tableau se rapproche de l'expressionnisme".
Source : www.larousse.fr