La locution adverbiale en forme d'idiotisme textile et vestimentaire "À la botte" appartient au registre familier.
Et elle signifie : être sous la domination de (quelqu'un), à la disposition de, au service de, sous l'emprise de, aux ordres de ; tout dévoué à ; constamment prêt à obéir.
On dit par exemple : "Comme souvent, ce Premier ministre est à la botte du président".
Ou : "Mon patron a des chefs de service à sa botte".
Sources : www.languefrancaise.net et wiktionary.org