J'aime beaucoup cette amusante locution adverbiale signifiant : à l’envi l’un de l’autre ; à qui fera mieux que l’autre.
Si l'on se réfère au dictionnaire de Bescherelle de 1856, il s’agirait d’une ellipse de la phrase : "Nous vous aimons À (ce point et de telle façon que celle) QUI (de nous deux vous aime déjà) MIEUX (que l’autre, vous aime encore) MIEUX".
On dit par exemple : "Le premier débat de l'élection présidentielle états-unienne de 2020 était lamentable : les deux candidats s'invectivaient à qui mieux mieux".
Ou : "Dans leur saynète Les coiffeuses, les Chevaliers du fiel déversent leur fiel à qui mieux mieux".