Cette expression du langage courant constitue une ellipse de "Le mot impossible n'est pas français".
Et elle s'utilise donc traditionnellement lorsque l'on refuse d'abdiquer face à une difficulté ou quand une chose paraît irréalisable, afin de dire que rien n'est impossible.
Ce dicton d'origine incertaine est traditionnellement attribué à Napoléon 1er, à qui le géneral Le Marois avait écrit, lors de la campagne d’Allemagne de 1813, qu’il ne pourrait tenir plus longtemps la ville de Magdebourg (Saxe-Anhalt). Ce à quoi l'Empereur lui aurait rétorqué : "Ce n’est pas possible, m’écrivez-vous : cela n’est pas français".
Mais selon d'autres explications, ce serait le ministre de la Police Joseph Fouché, qui aurait déclaré au même Napoléon 1er, à la suite d'une altercation concernant la traque des royalistes français émigrés : "Votre majesté nous a appris que le mot impossible n'est pas français"...
Sources : wiktionary.org et www.expressions-francaises;fr