Mais, selon le contexte : "ÉTABLIR un constat" !
On dit par exemple : "Après un accident automobile il faut systématiquement établir un constat" plutôt que "Après un accident automobile il faut systématiquement faire un constat".
Ou : "Je constate malheureusement que la situation a empiré" plutôt que "Je fait malheureusement un constat ; c'est que la situation a empiré".