Cette locution verbale relève du registre familier.
Et elle signifie :
- au sens propre : travailler trop rapidement,
On dit par exemple : "Vous êtes allés un peu vite en besogne les gars : vous allez me refaire correctement ce parquet qui ne ressemble à rien !".
- et au sens figuré : précipiter les choses ; aller trop vite ; être expéditif ; agir précipitamment.
On dit par exemple : "Quitter ta femme parce que tu l'as surpris en train d'embrasser un type ? Tu vas un peu vite en besogne !".
Sources : Le Robert et wiktionary.org