Ces deux locutions verbales en forme d'idiotisme corporel relèvent du langage courant.
Et elles signifient, au sens figuré, par hyperbole :
- "Donner sa main à couper" : être sûr et certain de quelque chose.
On dit par exemple : "J'aurais donné ma main à couper que j'avais posé mes lunettes ici !".
- et "En mettre sa main à couper" : certifier quelque chose, en répondre à ses risques et périls.
On dit par exemple : "Je te garantis que tu seras couvert en cas de problème avec les autorités locales".
Sources : wiktionary.org