Cette locution verbale en forme d'idiotisme corporel relève du registre familier.
Et elle signifie : se montrer dédaigneux, délicat, difficile, exigeant ; grimacer ; faire des façons et des simagrées ; faire le difficile face à ce qui est apprécié ordinairement ; être difficile à contenter ; être difficile sur la nourriture.
À l'origine - dès la deuxième moitié du XVe siècle - on disait "Faire la petite bouche" à propos d'une personne ne mangeant que des mets très raffinés.
Avec le temps, l'expression a évolué : le mot "petite" a été remplacé par "fine" et le sens de l'expression s'est étendu à toutes choses normalement appréciées.
On dit par exemple : "Je n'ai pas fait la fine bouche : j'ai pris ce boulot en attendant de trouver mieux".
Ou : "Si tu avais vraiment faim tu ne ferais pas la fine bouche".
Sources : www.expressio.fr, wiktionary.org, expressions-francaises.fr et www.linternaute.fr