Cette curieuse expression du registre familier signifie : fuir discrètement, filer en douce, se défiler.
On dit par exemple : "Les voleurs sont parvenus à filer à l'anglaise alors même, que la police cernaient les lieux".
Et je trouve particulièrement savoureux que nos amis britanniques disent de leur côté : prendre congé à la française ("To take french leave") !