J'aime beaucoup cet adverbe, qui signifie :
- dans le registre désuet : d'une manière imminente, urgente.
On dit par exemple : "La nouvelle formule va paraître instamment.
- et dans le registre soutenu, de nos jours : vivement, de façon pressante, avec force ; avec instance, d'une manière instante.
On dit par exemple : "Vous êtes instamment priés de me restituer cet ouvrage".
Sources : www.cnrtl.fr, www.larousse.fr, wiktionar.org et Le Robert