Cette très ancienne expression fait référence au bât, cette selle que l’on posait sur le dos des mulets utilisés comme bête de somme, afin d'y accrocher de lourdes charges.
Un bât mal fixé ou trop chargé générait systématiquement des plaies qui faisaient souffrir les bêtes et pouvait compromettre le déroulement de la fin du trajet.
De nos jours cette expression imagée signifie que l’on a identifié la cause d’une souffrance (généralement d'ordre psychologique), le point sensible d’une personne, ou un problème en général.
On dit par exemple : "Là où le bât blesse c'est que cet enfant ne dispose de sa propre chambre chez aucun de ses deux parents".
Le mot "Bât" se retrouve également de manière indirecte, sous forme d'adjectif, dans la locution nominale "Un âne bâté", souvent utilisée au sens figuré.
Source : wiktionary.org