Mais plutôt : "Excuse-moi" ou "Excusez-moi" (langage courant).
Ou, : "Je te prie de m'excuser", "Je vous prie de m'excuser" ou "Veuillez m'excuser" (langage courant).
Voire : "Je te prie de BIEN VOULOIR m'excuser" ou "Je vous prie de BIEN VOULOIR m'excuser" (langage courant).
Et même : "Je te prie de bien vouloir AVOIR L'OBLIGEANCE de m'excuser" ou "Je vous prie de bien vouloir AVOIR L'OBLIGEANCE de m'excuser" (registre soutenu).
Ou encore - si vous ne craignez pas de sombrer dans l'obséquiosité - : "Je te prie de bien vouloir avoir L'EXTRÊME obligeance de m'excuser" ou "Je vous prie de bien vouloir avoir L'EXTRÊME obligeance de m'excuser" (langage courant).
Source : https://www.academie-francaise.fr/christine-s-france
Je crois au contraire (et c'est plus qu'une croyance) qu'il est tout à fait possible et acceptable de surcroît, d'utiliser "je m'excuse"...
L'ouvrage de référence de la langue française "Le bon usage : grammaire française" http://bit.ly/15PeN7z de Maurice Grevisse et André Goosse vous fournit la réponse au paragraphe 781 c) sur les verbes particuliers, au 5ème alinéa :
« Certains prétendent qu'il est peu courtois de dire "Je m'excuse" et qu'il faudrait dire "Excusez-moi". Cela est fondé sur une interprétation de l'expression comme si elle signifiait "se pardonner", alors qu'elle veut dire traditionnellement "présenter ses raisons pour se disculper" [...], puis "présenter ses excuses, ses regrets". Quoi qu'il en soit, "Je m'excuse" abonde, et sous les plumes les plus distinguées. (Mais "Excusez-moi" est courant aussi.) »
Ces informations sont confirmées sur le site de la "Banque de dépannage linguistique" (BDL) http://bdl.oqlf.gouv.qc.ca/bdl/gabarit_bdl.asp?id=3810 de l'Office québécois de la langue française :
« La tournure "je m'excuse", qui est très fréquente, est parfois critiquée. Elle est cependant tout à fait correcte dans le sens de "je présente mes excuses" ; il n'y a donc aucune raison d'éviter de l'employer dans la langue courante. Dans le style soutenu, on pourra lui préférer les formules "veuillez m'excuser", "je vous prie de m'excuser" ou encore "toutes mes excuses", plus polies. La tournure "excusez-moi" est également correcte. »
Le Larousse indique également que le verbe pronominal "S'excuser" peut être utilisé de la façon suivante:
1. Donner des raisons pour se justifier, demander pardon pour quelque chose : Je m'excuse de mon retard.
2. Faire quelque chose en présentant ses excuses : Je m'excuse de vous contredire sur ce point.
Certes, mais pour l'Académie française "Si l’on a commis une faute, on doit demander à la personne envers qui on a mal agi de nous excuser ; on ne peut le faire soi-même. On ne s’excuse pas plus qu’on ne se pardonne. On dira donc Je vous prie de m’excuser ou Je vous demande pardon". https://www.academie-francaise.fr/christine-s-france
Je me suis donc limité à modifier le titre et le début de mon article : "Ne dites pas... mais plutôt" au lieu de "On ne dit pas".