Cette expression signifie au sens figuré que les gens se désolidarisent, parce qu’ils ne voient pas d’issue ou de solution.
On dit par exemple : "Premier à quitter le navire Les Républicains, le 15 mai 2017 : Édouard Philippe".
Cette expression nous vient d'un temps lointain où il était impossible de prévoir le temps qu'il allait faire et encore moins lorsque l'on prenait la mer. Il arrivait cependant parfois qu'avant qu'un bateau ne largue les amarres, tous les rats présents sur le navire le fuient, ce qui était le présage d'une tempête à venir. En effet, les rats, intelligents et bons nageurs, pressentent les catastrophes et se jettent généralement à l'eau avant que le bateau ne coule.
Source : wiktionary.org, www.linternaute.fr et www.caminteresse.fr