Ces deux locutions verbales en forme d'idiotisme textiles et vestimentaires appartiennent au registre familier.
Remontant - sous cette forme - au début du XXe siècle, elles signifient respectivement, au sens figuré :
- "Porter le chapeau" : endosser la responsabilité d’une action ou être tenu pour responsable à la place d'un autre ; assumer des faits souvent indépendants de sa volonté.
On dit par exemple : "On sait bien que dans cette affaire, le ministre mis en cause porte le chapeau".
Ou : "Pas question pour moi de porter le chapeau !".
Sur un sujet contigu, je me permets de vous recommander la lecture de mon article consacré à l’expression "Porter la culotte".
- et "Faire porter le chapeau" : rejeter sa responsabilité sur quelqu'un d'autre, faire endosser à quelqu'un la responsabilité d’une action ou l'en tenir pour responsable ; lui faire assumer des faits souvent indépendants de sa volonté, nuisant ainsi clairement à sa réputation.
On dit par exemple : "IL est classique que le président de la République fasse porter le chapeau à ses collaborateurs ou ministres".
Ou : "Je n'accepterai pas que la direction me fasse porter le chapeau dans ce dossier".
Sources : wiktionary.org et www.projet-voltaire.fr
Les femmes portaient aussi un chapeau : pas question de sortir "en cheveux"
Vous avez parfaitement raison Élisabeth : j'ai d'ailleurs consacré un article à cette expression ! https://jaimelesmots.com/en-cheveux-ou-sortir-en-cheveux/
Merci beaucoup pour cette remarque pertinente qui m'a fait modifier mon article.