Cette locution adverbiale appartient au registre familier.
Elle fait référence aux "enjoliveurs de roue", ces pièces métalliques sans rôle fonctionnel, qui ornent les moyeux des roues de voiture automobile. Et sont par conséquent surnommés, dans le registre familier "chapeaux de roues".
Et elle signifie :
- au sens propre : rapidement, très vite, et le plus souvent trop vite, en parlant d’un véhicule automobile qui démarre.
On dit par exemple : "Mon frère avait tellement peur d'être en retard qu'il a démarré sur les chapeaux de roue".
- et au sens figuré : rapidement, très vite.
On dit par exemple : "Les ventes de la société ont démarré sur les chapeaux de roue cette saison : pourvu que cela dure !".
Source : wiktionary.org