Cette très ancienne locution verbale du registre familier date du XVIe siècle.
- elle a d'abord signifié : déménager, partir discrètement sans payer le loyer ; quitter furtivement son logis, disparaître pour se soustraire à une obligation, à une poursuite, etc,
- puis, comme c'est encore le cas de nos jours : cesser son activité, faire faillite ; abandonner une entreprise, la fermer définitivement et complètement.
On dit par exemple : "Avec la pandémie de COVID 19, de nombreux entrepreneurs et chefs d'entreprise ont dû mettre la clé sous la porte".
Sources : wiktionary.org, www.expressions-francaises.fr, www.expressio.fr et www.larousse.fr