Cette expression imagée du registre argotique fait référence au fil que l'on attache à la patte d'un oiseau, d'un insecte ou d'un autre animal pour l'empêcher de s'envoler ou de s'échapper.
Et elle signifie par conséquent - au sens figuré - avoir des obligations, ne pas pouvoir agir librement, ne pas être libre de ses mouvements ou se sentir prisonnier d'une situation.
On utilise principalement cette expression pour évoquer le fait d'être tenu par un engagement - généralement sentimental - dont on souhaiterait se libérer.
Comme c'est notamment le cas, bien sûr, dans la célèbre pièce de théâtre française "Un fil à la patte", créée en 1895 par Georges Feydeau et adaptée quatre fois au cinéma :
- en 1924 par Robert Saidreau,
- en 1933, par Karl Anton,
- en 1955, par Guy Lefranc,
- et en 2005, par Michel Deville, dont ce fut le dernier film.
Sources : wiktionary.org, www.linternaute.fr et www.expressions-francaises.fr