- "Élucider" est un verbe signifiant "Rendre clair quelque chose, expliquer ce qui était confus, obscur ; éclaircir, clarifier".
On dit par exemple : "Élucider la pensée d'un philosophe".
- et "Résoudre" est un verbe pouvant signifier, selon le contexte, :
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- trouver, grâce à un processus d'analyse et de réflexion, la solution d'une difficulté, d'un problème, d'une question.
On dit ainsi : "Résoudre une énigme", "Résoudre un mystère" ou "Résoudre un problème".
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- prendre le parti, la détermination de faire telle chose ("Il a résolu de s'expatrier"),
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- inciter quelqu'un à accomplir telle action ("Nous n'avons pu le résoudre à accepter notre offre"),
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- déterminer l'ensemble des solutions d'une équation ou d'un système d'équations ("Résoudre une équation"), en mathématiques,
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- priver d'effets un contrat ("Résoudre un bail, un contrat, un marché"), dans le domaine juridique,
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- faire disparaître peu à peu et sans suppuration ("Résoudre un épanchement ou une tumeur"), dans le domaine médical,
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- dissocier, distinguer les étoiles qui composent une nébuleuse, en l'observant à l'aide d'un instrument d'optique suffisamment puissant ("Résoudre une nébuleuse"), en astronomie,
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- Enfin, dans le domaine de chimie, : dissocier les éléments constituants d'un corps composé ; décomposer (registre soutenu et registre désuet).
Sources : www.larousse.fr et www.cnrtl.fr