- "Être fâché avec quelqu'un" relève du langage courant et signifie : être brouillé avec cette personne, être en froid, en mauvais termes.
On dit par exemple :"Ma grand-mère est fâchée avec sa voisine depuis des années pour une histoire de pommier dont les branches dépassent de la clôture".
- "Être fâché contre quelqu'un" relève du langage courant et signifie : être en colère contre cette personne.
On dit par exemple : "Je suis très en colère contre toi, parce que tu as mis le feu à la voiture de papa !".
- tandis que "Être fâché avec quelque chose" relève du registre familier et signifie, au sens figuré : ne pas en comprendre l'usage ou se refuser à en faire usage.
On dit par exemple : "Mon époux est fâché avec les chiffres et ma fille est fâchée avec l'orthographe".
Ou : "Mon fils de seize ans est fâché avec la brosse à cheveux".
Sources : www.dictionnaire-academie.fr et Le Robert