Ce verbe (qui se prononce dé-si-yé) signifie :
- au sens propre, en fauconnerie : découdre les paupières d'un faucon ou d'un oiseau de proie, après les lui avoir cousues (on dit "Ciller" des paupières) afin de le dompter, de le dresser,
- par extension : séparer les paupières jointes d'un être humain,
- et au sens figuré : ouvrir les yeux d'une personne, la détromper, lui faire prendre conscience de quelque chose et notamment de la réalité, de la vérité.
On dit par exemple : "Il faut absolument dessiller les yeux à ton frère : il vit dans son monde, loin de toute réalité".
Ou : "Dessiller les yeux de ma meilleure amie devient urgent : elle seule ignore que son mari la trompe régulièrement".
Le grand Émile Littré lui-même s'indignait de cette orthographe illogique dans son "Dictionnaire de la langue française "(1872-1877) : "Dessiller est une mauvaise orthographe, puisque le mot vient de cil".
Sources : wiktionary.org, www.larousse.fr et www.cnrtl.fr